optionale Trennung

25 Jan

Trennungsregeln sind ja immer so eine Sache. LaTeX macht das schon sehr gut wie ich finde, nur manchmal, gerade bei Eigennamen oder Denglisch macht LaTeX Fehler. Da hilft ein

\-

für einen Trennungsvorschlag von Seiten des Benutzers.

Vertikale Beschriftung von Tabellen

25 Jan

Vertikale Beschriftung für Tabellen folgendem Befehl direkt in die Kopfzeile der Tabelle

% Benötigtes Paket
\usepackage{rotating}
% Formatierung für jeden Eintrag in die Tabelle seperat
\begin{sideways} Literatur \end{sideways}

Stichwortverzeichnis

25 Jan

Mit Latex ein Indexverzeichnis zu erstellen ist sehr leicht. Am besten fängt man damit schon sehr früh an, denn später ist es mühsam die Verweise in den Code nachzutragen. Der Vorteil ist, dass der Befehle \index{..} einfach ignoriert wird, wenn noch kein Indexverzeichnis erstellt wurde.

Hier die benötigten Befehle:

% das benötigte Paket
\usepackage{makeidx}
% noch vor Beginn des Dokuments
\makeindex
% Für jeden Eintrag (wird nicht angezeigt)
% Einträge erfolgen hinter dem zu verweisenden Wort
\index{Latex}
% Für eine Schachtelung der Einträge
\index{Latex!Stichwortverzeichnis}
% Für einen Eintrag ins Inhaltsverzeichnis natürlich noch
\addcontentsline{toc}{chapter}{Stichwortverzeichnis}
% An geeigneter Stelle erfolgt die Ausgabe
\printindex

Grenzwert(ig)

29 Aug
lim_{n \to \infty}\ e^{-n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{n^k}{k!} = \frac{1}{2}

Vertrauensbereich

25 Aug

Vertrauensbereich ist der Bereich, der den wahren Parameter der Grundgesamtheit mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (typischerweise 95% oder 99%) einschließt.

obere Grenze:  \mu_o = \overline{X} - t \frac{s}{\sqrt{n}}

untere Grenze:  \mu_u = \overline{X} + t \frac{s}{\sqrt{n}}

\overline{X}: Mittelwert der Stichprobe

s: Standardabweichung (Streuung) der Stichprobe

n: Anzahl der Stichproben

t aus folgender Tabelle (je nach Genauigkeit)

n 95% 99%
t t
5 2,776 4,604
6 2,571 4,032
7 2,447 3,707
8 2,365 3,499
9 2,306 3,355
10 2,262 3,250
11 2,228 3,169
13 2,179 3,055
15 2,145 2,977
20 2,093 2,861
25 2,064 2,797
30 2,045 2,756
40 2,023 2,708
50 2,010 2,679
60 2,001 2,662
80 1,990 2,640
100 1,984 2,626
150 1,976 2,609
200 1,972 2,600
500 1,965 2,586

 

phantastische Zahlen

16 Feb

Gemeint sind natürlich die komplexen Zahlen. Allerdings hielt man sie früher für ein Phantasiegebilde des menschlichen Geistes, daher die etwas ungewohnte Bezeichnung.

Bei der Vorbereitung meiner Mathevorlesung ist mir folgender Zusammenhang begegnet, den ich so noch nicht kannte:

i \cdot log(i) = - \frac{1}{2} \pi bzw.  i^i = e^{- \frac{1}{2} \cdot \pi}

Einhüllende

20 Jan

Um in einem Empfänger Rechenoperationen zu sparen ist man ja bereit einiges an Approximationen in Kauf zu nehmen. Hier mal eine, die viel Wortbreite sparen kann

 \sqrt{I^2 + Q^2} = \begin{cases} \frac{3}{8} \cdot |I| + |Q|, wenn |I| < |Q|\\ \frac{3}{8} \cdot |Q| + |I|, sonst\end{cases}

trivial

07 Jan

Ich wusste gar nicht, dass es im mathematischen Sinn sogar eine Definition für den Gebrauch des Wortes “trivial” gibt.

Eine Aussage ist dann trivial, wenn sie nur unter zur Hilfenahme einer Definition, aber ohne jeglichen Rechenschritt, getätigt werden kann.

Als zum Beispiel:

- 1 und n sind Teiler von n

- Die Menge M ist eine Teilmenge von sich selbst

- etc…

Hauptsätze der Thermodynamik

04 Jan

Man liest immer wieder davon. Doch dann habe ich sie meistens schon wieder vergessen.

Deshalb hier schnell eine Kurzübersicht:

0. Hauptsatz: Stehen zwei Systeme jeweils mit einem dritten im thermodynamischen Gleichgewicht, so stehen sie auch untereinander im Gleichgewicht.

1. Hauptsatz: Energie kann weder erzeugt noch vernichtet, sondern nur in andere Energiearten umgewandelt werden.

2. Hauptsatz: Thermische Energie ist nicht in beliebigem Maße in andere Energiearten umwandelbar.

3. Hauptsatz: Der absolute Nullpunkt der Temperatur ist unerreichbar.

Ein- und Ausschaltjahre

28 Dec

Mit den Schaltjahren ist es eine lustige Sache. Laut den Astronomen dauert ein Jahr genau 365 Tage, 5 Stunden, 48 Minuten und 46 Sekunden. Das entspricht 365,242199 Tagen.

Daher führte Julius Cäsar Mitte des 1. Jahrhunderts v. Chr. das Kalendersystem ein, in dem nach drei Jahren mit 365 Tagen ein Jahr mit 366 Tagen folgt (das Schaltjahr). Dann kommen wir also auf eine durchschnittliche Dauer von 365,25 Tagen.

Das führt zu einem jährlichen Fehler von 11 Minuten und 14 Sekunden. Damit konnten die Kirchenherren Mitte der 16. Jahrhunderts nicht leben. Papst Gregor XIII. (1502-1585) überlegte sich daher, dass in jedem 25. Schaltjahr der eingeschaltete Schalttag wieder ausgeschaltet werden sollte. Also alle 100 Jahre. Das führt zu einer durchschnittlichen Jahresdauer von 365,24 Tagen. Das ist wiederum ein wenig zu  kurz.

Also kamen sie auf die Idee in jedem vierten Ausschaltjahr (alle 400 Jahre) den Schalttag wieder einzuschalten. Nennen wir diese Jahre Einschalt-Ausschaltjahre. Somit kommen wir auf eine Durchschnittsdauer von 365,2425 Tagen. Die verbleibende Ungenauigkeit von 26 Sekunden war der Kirche wohl keinen zusätzlichen Aufwand wert.

Somit war die korrekte Zeitrechnung für die Zukunft gesichert. Jetzt mussten nur noch die Fehler der Vergangenheit getilgt werden. Dazu wurden 1582 zehn Tage aus dem Kalender gestrichen. Auf Donnerstag, den 4. Oktober 1582 folgte Freitag, der 15. Oktober.